الفصل الرابع
الدرس الثالث عشر : منهج البحث في العلوم الرياضية ( موضوع )
أولاً: ما هو موضوع الرياضيات :
الرياضيات تتناول موضوعا هو المقادير القابلة للقياس والمقدار هو كل ما يقبل الزيادة أو النقصان وعندما نستطيع قياس المقدار نطلق عليه اسم كم
إن العاطفة والقيم مقادير إلا أنها ليست كما لأننا لا نستطيع قياسها فهي مقادير كيفية و الكم مجرد بالأصل عن المقدار القابل للقياس
إن الرياضيات هي علم القياس لأن قياس الكم يلعب فيها الدور الأساسي إن الكم هو موضوع الرياضيات
ثانياً: اشرح الكم المتصل والكم المنفصل و العلاقة بينهما :
1- الكم المنفصل : هو مقدار توجد بين وحداته ثغرات لا يمكن ملؤها إلا بقفزات تجاوزية يدعى هذا النوع من الكم كما عقليا مجردا يؤلف الجبر والعمليات الحسابية موضوع الكم المنفصل
2 - الكم المتصل :هو مقدار لا توجد بين وحداته ثغرات وهو مقادير تزيد أو تنقص كالخط المستقيم يدعى هذا النوع من الكميات كما عقليا مشخصا تؤلف الكميات المتصلة موضوع الهندسات بسائر فروعها
3 - علاقة الكم المتصل بالكم المنفصل :باكتشاف الجبر و تطوره أصبح هناك جسر موصول بين الكم المتصل والمنفصل بين الكم العقلي المجرد والمشخص فالخط المستقيم كم متصل ومعادلته الجبرية كم منفصل ( تصلح كخاتمة)
ثالثاً: منهج أو طريقة الرياضيات : الطريقة الاستنتاجية
علل ما يلي
س : الرياضيات علم القياس . لأن قياس الكم يلعب فيها الدور الأساسي
- س: إن العاطفة و القيم مقادير لكنها ليست كماً.
لأننا لا نستطيع قياسها فهي مقادير كيفية .
- س: لماذا يسمى العدد كما منفصلا .
لأن العدد كم مجرد بالأصل عن المقدار و توجد بين وحداته ثغرات لا يمكن ملؤها إلا بقفزات تجاوزية
- س: يسمى الكم المتصل كما عقليا مشخصا .
لأنه رغم وجوده كمفهوم عقلي يظل مقترناً بالمكان .
الدرس الرابع عشر : أسس الاستنتاج الرياضي :
أولاً: تعريف البديهية:عرف البديهية و اشرح خصائصها
هي أبسط القضايا و أشدها وضوحا في الذهن من أهم خصائصها
1- البديهية صادقة بذاتها لا تحتاج إلى برهان
2- واضحة بذاتها فيكفي أن نفهم معنى الكلمات التي تعبر عنها حتى نفهمها
3- البديهية عامة تشمل كل العلوم
4- البديهية تستند إلى مبدأ الهوية
ثانياً: المصادرة أو الموضوعة أو المسلمة : وهي قضية يضعها العالم ويطلب منا التسليم بها دون إقامة البرهان عليها وهي نوعان صريحة ومضمرة
• ما هو الفرق بين البديهية والمصادرة (2001) :
البديهية المصادرة
واضحة بذاتها لا تحتاج إلى برهان1998
عامة نجدها في كل برهان وفي
كل مجالات المعرفة من وضع العالم وهي بحاجة لبرهان وإن كان العالم
لا يبرهن عليها بل يطلب منا التسليم دون إقامة البرهان عليها بها لذا يقال عنها
مسلمات
خاصة أي لكل علم مصادراته
الخاصة
ضمنية( علل) لا نعرفها إلا
عندما نستوضحها صريحة( علل )
فنحن لا نعرف الهندسة إلا إذا درسناها في كتب الهندسة
ثالثاً: التعريفات :
هي ضرورية لتحديد المعاني وتوضيحها وتعيين خصائصها ما هي أنواع التعريفات :
أ ـ التعريف الرياضي : وهو مفهوم ينشئه العقل كاملاً و دفعةً واحدةً وهو مستقلٌ عن التجربة
ب - التعريف التجريبي : وهو تعريف للوقائع وبه نحاول أن نميِّز الخصائص الأساسية للواقعة المطلوب تعريفها
ما الفرق بين التعريف الرياضي والتعريف التجريبي :
التعريف الرياضي التعريف التجريبي
سابق على التجربة ومستقل عن الواقع
إ إنشائية من صنع العقل لا تتبدل بإطار نظرية رياضية
ثابتة منذ وضعها لاحقة على التجربة
هي تعريف للوقائع تتبدل بتبدل الوقائع
تدخله تعديلات وتحويرات
(علل) لأنه يخضع لاعتبارات التجربة
خامساً: ما نوعا التعريف الرياضي :
آ ـ التعريف التحليلي : الذي يعرف به العالم الرياضي مفهومه تعريفًا تحليليًا عندما يضع خصائصه الدالة عليه والمميزة له من بقية المفاهيم
ب - التعريف التوليدي الإنشائي : وسمي توليدياً لأنه
علل)
1- يبيِّن لنا كيف ينشئ العقل المفهومات الرياضية
2- يُمكِّننا من إنشاء ما لا نهاية له من هذه المفهومات
علل ما يلي
- س: ما هو معيار صحة البرهنة في الرياضيات ؟
تماسك العقل مع ذاته ومبدأ عدم التناقض .
- س: البديهية لا تحتاج إلى البرهان .
لأنها تدخل في بناء العقل ذاته فإذا أنكرها أنكر ذاته
- س: المصادرة مبدأ أولي في العلم وليست مبدأ أوليا في العقل .
لأنها قضية يضعها العالم ليقيم عليها بنيانا رياضيا متماسكا ولأنها تحتاج إلى برهان .
- س:البديهية صادقة بذاتها
لا تحتاج إلى برهان
- س:واضحة بذاتها
- فيكفي أن نفهم معنى الكلمات التي تعبر عنها حتى نفهمها
- س:البديهية عامة
- تشمل كل العلوم
- س: لماذا يقال عن المصادرات بأنها مسلمات .
لأن العالم يضعها و يطلب منا أن نسلم بها دون إقامة البرهان عليها
- س: لماذا يقبل العقل البديهيات دون برهان ؟
لأن البديهيات تستند إلى مبادئ العقل وكل البديهيات ترتد إلى قانون الهوية ما ( هو هو ) .
- س: لماذا كان التعريف التجريبي قابل للتحويرات والتعديلات .
لأنه يخضع لاعتبارات التجربة .
- س: المصادرة تحتاج إلى برهان .
لأن العالم يضعها ويطلب منا التسليم بها دون إقامة البرهان عليها فهي بحاجة إلى برهان .
- س: المصادرة خاصة .
لأنه لكل علم مصادرته الخاصة .
- س : البديهية عامة .
لأننا نجدها في كل برهان وفي كل مجالات المعرفة .
- س: المصادرة صريحة .
لأنه لا يمكن للطالب أن يفهم الهندسة إلا إذا عرفها في كتب الهندسة
- س: البديهية ضمنية .
لأننا لا نعرفها إلا عندما نستوضحها.
- س : التعريف الرياضي ضروري في المنهج الاستنتاجي .
لأنه يحدد المعاني ويوضحها ويعين خصائصها .
- س: يقال عن التعريف التوليدي بأنه إنشائي .
1 - لأنه يبين لنا كيف ينشئ العقل المفهومات الرياضية
2 - ولأنه يمكننا من إنشاء ما لا نهاية له من المفهومات .
الدرس الخامس عشر : البرهان الرياضي :اشرح البرهان الرياضي
أولاً : البرهان التحليلي : وهو المستعمل في كتب الرياضيات المدرسية ويقوم على إرجاع القضية المراد حلها إلى قضية أخرى أبسط منها مثال: س2-25 = 0 وهذه قضية معقدة نرجعها إلى قضية أخرى أبسط منها( س – 5 ) (س+5 )=0
ثانياً : البرهان التركيبي :ونبدأ من قضية بسيطة وننتقل إلى قضايا مركبة بحركة تهدف إلى إنتاج نتائج جديدة و هنا تتجلى لنا فعالية الفكر الخلاقة , و يعتمد على أسس و مبادئ الرياضيات مثال : ( س-5 ) ( س+5 ) وهذه قضية بسيطة نركبها في معادلة إنشائية : س2—25= 0
عالج الموضوع التالي :عندما يقوم العقل بإطلاق حكم ما فإنه يقوم بعمليتين الأولى تحليلية و الثانية تركيبية عالج التحليل و التركيب في الرياضيات
المقدمة : التحليل والتركيب عمليتان عقليتان حولهما العقل إلى وسائل لبلوغ المعرفة
الصلب :أ- التحليل والتركيب التجريبيان :
- التحليل التجريبي : هو تفكيك مجموعة من الوقائع التجريبية المشخصة وعزل عناصرها بعضها عن بعض ويلعب التحليل التجريبي دوره في منهج العلوم التجريبية مثال نحلل الماء إلى ذرة أوكسجين وذرتي هيدروجين
- في التاريخ نحلل الثورات لأسباب و نتائج فهذا تحليل
- التركيب التجريبي : وهو متبع في العلوم التجريبية كلها فمثلا من ذرة أوكسجين وذرتي هيدروجين يتركب لدينا الماء ففي التاريخ عند إلقاء نظرة عامة على الحوادث التاريخية تكون هذه العملية تركيب
ب- التحليل والتركيب العقليان :موضوعهما الأفكار المجردة و المفهومات الرياضية. لنلاحظ الطريقة التحليلية في الرياضيات
أولاً : البرهان التحليلي : وهو المستعمل في كتب الرياضيات المدرسية
ويقوم على إرجاع القضية المراد حلها إلى قضية أخرى أبسط منها
مثال: س2-25 = 0 وهذه قضية معقدة نرجعها إلى قضية أخرى أبسط منها
( س – 5 ) (س+5 )=0 , لنلاحظ الطريقة التركيبية في الرياضيات
ثانياً : البرهان التركيبي : ونبدأ من قضية بسيطة وننتقل إلى قضايا مركبة بحركة تهدف إلى إنتاج نتائج جديدة و هنا تتجلى لنا فعالية الفكر الخلاقة
و يعتمد على أسس و مبادئ الرياضيات مثال : ( س-5 ) ( س+5 )
وهذه قضية بسيطة نركبها في معادلة إنشائية : س2—25= 0
خاتمة و رأي شخصي : إن مبدأ عدم التناقض هو أساس المعقولية في الطريقتين التحليلية و التركيبية
الدرس السادس عشر : الاستنتاج الصوري والاستنتاج الرياضي
س موضوع دورة2002)
أولاً : ما الفرق بين الاستنتاج الصوري و الرياضي :
- يتفق الاستنتاجان بلزوم النتيجة عن المقدمات اضطراراً ويختلفان في :
1- النتيجة في الاستنتاج الصوري متضمنة في المقدمات
- بينما لا تكون النتيجة في الاستنتاج الرياضي متضمنة في المقدمات
2-الاستنتاج الصوري ينطلق من مقدمات عامة وينتقل منها إلى النتيجة
بينما الاستنتاج الرياضي ينطلق من مبادئ أساسية وهي البديهيات والمصادرات والتعريفات
3-المفاهيم في الاستنتاج الصوري صفات كالعدالة والحكمة
- بينما المفاهيم في الرياضي كميات
4-العلاقة في الاستنتاج الصوري هي علاقة تضمن وشمول
- أما في الاستنتاج الرياضي فهي علاقة أكبر أو أصغر أو مساواة أو عدم مساواة
ثانياً: تحدث عن وحدة الاستنتاج وقيمته :
- اتهم ديكارت الاستنتاج الصوري ( القياس )بالعقم لأن النتائج فيه لا تضيف شيئاً جديداً على المقدمات
- بينما الاستنتاج الرياضي يتقدم باستمرار وهو العلم الحقيقي لأنه يكسبنا علماً جديداً غير موجود في المقدمات
- لا مجال لتفضيل أحد الاستنتاجين على الآخر لأنهما يتبعان طريقاً واحدا ًمن طرائق العقل ألا وهو الاستدلال بشكله العام
ما هي صفات الاستنتاج الصوري والرياضي :{قيمته}
1. الكلية : ( علل دورة 2004 ) أي أن النتائج التي نصل إليها تصح في كل زمان ومكان
2. الضرورة ( علل ) لأنه من الضروري لزوم أن تعطي المقدمات نفسها النتيجة نفسها وأن لا تعطي غيرها
3. الصورية: أي أن الكلية والضرورة لا تجتمعان إلا في ما هو شكلي أي في المفهومات ( علل ) لأن المفهومات تعبر عن الحوادث دون أن تتبدل بتبدلها
الأنشطة و التدريبات
عالج الموضوع التالي : اتهم ديكارت الاستنتاج الصوري بالعقم لأن النتائج فيه لا تضيف شيئا جديدا على المقدمات عالج هذا الموضوع من خلال دراستك للفرق بين الاستنتاجين الصوري و الرياضي ووحدتهما
المقدمة : تعريف الاستنتاج
الصلب : كل الدرس
الخاتمة و الرأي : من صفات الاستنتاجين الصوري و الرياضي الكلية أي أن النتائج التي نصل إليها تصح في كل زمان ومكان
علل ما يلي
- س: حدد نقطة يتفق فيها الاستنتاج الصوري و الاستنتاج الرياضي.
لزوم النتيجة عن المقدمات اضطرارا .
- س: لا تجتمع الكلية والضرورة إلا فيما هو صوري (( شكلي )) أي في المفهومات .
لأن المفهومات تعبر عن الوقائع دون أن تتبدل بتبدلها
- س:يقال عن الاستنتاج الرياضي بأنه استنتاج حقيقي أو إنشائي .
لأنه يكسبنا علما جديدا غير موجود في المقدمات .
- س: اتَّهم ديكارت الاستنتاج الصوري بالعقم . ( علل دورة 2001)
لأن النتائج فيه لا تضيف شيئا جديدا على المقدمات .
- س: لا مجال للتفضيل بين الاستنتاجين الصوري والرياضي .
لأنهما يتبعان طريقاً واحداً من طرائق العقل ألا وهو الاستدلال بشكله العام.
- من صفات الاستنتاج الصوري والرياضي الكلية : ( علل دورة 2004 )
أن النتائج التي نصل إليها تصح في كل زمان ومكان
- من صفات الاستنتاج الصوري والرياضي الضرورة ( علل )
لأنه من الضروري لزوم أن تعطي المقدمات نفسها النتيجة نفسها وأن لا تعطي غيرها
- من صفات الاستنتاج الصوري والرياضي الصورية:
- الكلية والضرورة لا تجتمعان إلا في ما هو شكلي أي في المفهومات ( علل )
لأن المفهومات تعبر عن الحوادث دون أن تتبدل بتبدلها
الدرس السابع عشر دور الرياضيات وقيمتها وحدودها بين العلوم
موضوع )
أولاً: اشرح اليقين الرياضي :
- إن نتائج الرياضيات مرتبطة بمبادئ العقل الأولى لأن يقينها مستمد من تماسك النتيجة مع المقدمات
- إن الهندسات اللااقليدية لا يستطيع الطالب و غير المختص أن يتخيلها لأنها ليس لها علاقة بواقعنا الحسي
- الهندسة الاقليدية حقيقةٌ عقليةٌ لأننا نجد لأشكالها مقابلاً في الواقع الحسي
- ولا تزال تحتفظ بقيمتها لأنها صحيحةٌ في عالم مدركاتنا الحسية
ثانياً: اشرح دور الرياضيات وقيمتها بين العلوم و بين ما هي حدودها
دورة 1996
أ- اشرح دور الرياضيات وقيمتها بين العلوم :
- تختلف الرياضيات عن بقية العلوم من حيث موضوعها و طريقتها فموضوعها مفهومات وطريقتها استنتاجية
- أما بقية العلوم فموضوعها الوقائع وطريقتها استقرائية
- إن أكمل العلوم الاستقرائية هي الفيزياء الرياضية و إن كل العلوم تقلد الفيزياء الرياضية لأنها تحول الكيف إلى كم
- الرياضيات هي لغة العلوم لأن العلم لا يكتمل إلا عندما تحول نتائجه إلى معادلات وترسم ثوابته على شكل خطوط بيانية , ولهذا قيل لا علم إلا بالقياس
- و إن الرياضيات أساس التقنية
- و الدول الحديثة تلجأ للتخطيط , والتخطيط يستند للإحصاء , والإحصاء جزء من الرياضيات العالية
- إن الرياضيات مكنت الإنسان من اختصار عمليات معقدة ومن إنشاء العلم الحديث ومن السيطرة على الطبيعة
ب - حدودها :
لا يمكن أن نطبق الرياضيات على جميع مظاهر النشاط الإنساني( علل دورة 2003 )
- فالأخلاق لا تتحول إلى دساتير و الإرادة لا تخضع لسلطان الإحصاء .
الأنشطة و التدريبات
عالج الموضوع التالي : للرياضيات دور عظيم في اختصار العلم عالج هذا الموضوع من خلال دراستك لدور الرياضيات بين العلوم و حدودها
المقدمة : تعريف المنطق
الصلب : دور الرياضيات و قيمتها بين العلوم و حدودها
- الخاتمة : إن الرياضيات هي النموذج الأول للمعقولية و لا يمكن أن نطبق الرياضيات على جميع مظاهر النشاط الإنساني فالأخلاق لا تتحول إلى دساتير و الإرادة لا تخضع لسلطان الإحصاء .
علل ما يلي
- س:لماذا ظلت الرياضيات النموذج الأول للمعقولية .
- لأن نتائجها صادقة و متماسكة .
- س : إن نتائج الرياضيات مرتبطة بمبادئ العقل الأول
لأن يقينها مستمد من تماسك النتيجة مع المقدمات
- س : لا تزال الهندسة الاقليدية تحتفظ بقيمتها( علل1999 )
- لأنها صحيحة في عالم مدركاتنا الحسية
- س : الهندسة الاقليدية حقيقة عقلية ( علل )
- لأننا نجد لأشكالها مقابلا في الواقع الحسي
- س: لا يستطيع الطالب و غير المختص أن يتصور الهندسة الاقليدية
لأنها ليس لها علاقة بواقعنا الحسي
- س : أكمل العلوم الاستقرائية هي الفيزياء الرياضية و إن كل العلوم تقلد الفيزياء الرياضية ( علل ) لأنها تحول الكيف إلى كم
- س: نتائج الرياضيات يقينية .
- لأنها مستمدة من تماسك النتيجة مع المقدمات و لأنها مرتبطة بمبادئ العقل الأولى.
- س: قيل أن الرياضيات لغة العلوم .أو لا علم إلا بالقياس / 2007/
- لأن العلم لا يكتمل إلا عندما تـُحول نتائجه إلى معادلات أو ترسم ثوابته على شكل خطوط بيانية.
- س: لا نستطيع أن نطبِّق الرياضيات على جميع مظاهر النشاط الإنساني
- لأن الإرادة لا تخضع لسلطان الإحصاء و الأخلاق لا تتحول لدساتير و الحريَّة لا تأخذ شكل خط بياني .
